EL VERDADERO SIGNIFICADO DEL TEOREMA DE GÖDEL

“El Ego Cogito del siglo XX” (Manuel Garrido)

“El leitmotiv del siglo XX” (Palle Yourgrau)

“Una piedra miliar en la historia de la lógica y las matemáticas” (Ernest Nagel & James R. Newman)

“El artículo matemático más importante del siglo XX” (Toby Ord)

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El Teorema de Gödel
El artículo de Kurt Gödel “Sobre proposiciones formalmente indecibles de los Principia Mathematica y sistemas afines” (de 1931) se considera el más famoso jamás publicado sobre lógica matemática.

La obra Principia Mathematica es una monumental obra (tres volúmenes y más de 1500 páginas) de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, que escribieron en un periodo de 10 años (entre 1900 y 1910), y publicada entre 1910 y 1913, con la que pretendían “logicizar” la matemática, es decir, derivar o construir toda la matemática a partir de principios lógicos.

En el artículo de Gödel se demuestra el teorema de incompletud (o de indecidibilidad), que afirma lo siguiente:

Todo sistema axiomático formal (SAF), que incluya a la aritmética de los números naturales, es incompleto, es decir, que hay sentencias indecidibles en el sentido de que son “inalcanzables” mediante los axiomas y las reglas de inferencia, por lo que no es posible saber si son verdaderas o falsas.

De este teorema se deriva otro, denominado “segundo teorema de incompletud”:

Un SAF, que incluya a la aritmética de los números naturales, no puede demostrar su propia consistencia. Es decir, que el sistema no puede demostrar por sí mismo que no es posible demostrar algo y su contrario.

Paradójicamente, Gödel demostró este teorema metamatemático (que revela las limitaciones de la matemática) mediante la propia matemática, concretamente mediante la aritmética. Y este teorema expresa también algo paradójico: demuestra algo que nunca podrá demostrarse.


Un ejemplo simple que ilustra el teorema de incompletud de Gödel

Para hacernos una idea de la naturaleza del teorema de Gödel, vamos a ilustrarlo con un ejemplo sencillo. Supongamos que nuestro SAF consta de:

• Axiomas: Los números 3, 5 y 8.
• Regla de derivación de teoremas: Un teorema es la suma de dos axiomas o teoremas distintos.

El proceso de derivación es el siguiente:

• Teoremas de orden 1 (combinando los axiomas): 3+5 = 8, 3+8 = 11 y 5+8 = 13.
  Nuevo conjunto de axiomas y teoremas: 3, 5, 8, 11, 13.
  
  
• Teoremas de orden 2 (combinando el conjunto anterior): 3+11 = 14, 3+13 = 16,
  5+11 = 16, 5 +13 = 18, 8+11 =19, 8+13 = 21, 11+13 = 24.
  Nuevo conjunto de axiomas y teoremas: 3, 5, 8, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 24.

Por lo tanto, los números indecidibles (inaccesibles) son: 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 20, etc.

Este ejemplo pretende ilustrar solamente que con los axiomas y las reglas de inferencia se pueden crear “huecos” que corresponden a expresiones inaccesibles.


Líneas generales de la demostración del teorema de Gödel

La demostración del teorema de Gödel es muy larga y bastante compleja. La demostración completa y detallada se puede encontrar en el libro de Nagel & Newman [1994]. Se basa fundamentalmente en la aritmética, como en el ejemplo anterior. Las ideas clave de la demostración son las siguientes:

• Gödel utilizó la sentencia metamatemática autorreferente G “No soy demostrable” como pieza clave de su demostración. Esta sentencia está inspirada en la famosa paradoja del mentiroso: “Esta sentencia es falsa”.
  
  
• Gödel aplicó lo que hoy denominamos “gödelización”, que consiste en:
  
  
  • Asignar un número natural único a cada símbolo.
    
    
  • Asignar un número natural único a cada secuencia de símbolos que corresponde a una fórmula bien construida (fbc) de la forma 2^n₁·3^n₂·5^n₃·7^n₇..., donde 2, 3, 5, 7, … son números primos y n₁, n₂, n₃, n₄,... son los números naturales correspondientes a cada símbolo.
    
    
  • Asignar un número natural a cada secuencia de fbc´s que corresponden a la demostración de un teorema, en donde la última fórmula es el teorema.
  
  En general, cada expresión p (símbolo, fbc o secuencia de fbc´s) tiene asociado un número de Gödel NG(p). Esta asignación es biunívoca (porque la descomposición de un número natural en factores primos es única), por lo que dado un número de Gödel se puede obtener la expresión correspondiente. Evidentemente, hay números que no son números de Gödel, es decir, que no corresponden a ninguna expresión.
  
  
• La gödelización permite investigar cuestiones metamatemáticas analizando propiedades aritméticas, pues las relaciones lógicas entre las proposiciones metamatemáticas se reflejan en las relaciones entre las correspondientes fórmulas aritméticas. Por ejemplo, una sentencia metamatemática es consecuencia de otra si los números de Gödel correspondientes guardan entre sí una cierta relación aritmética. Por ejemplo, si de p se deduce q, entonces NG(p) es múltiplo de NG(q).
  
  Esta unión entre aritmética y metamatemática se ha comparado con la unión que realizó Descartes entre la aritmética y la geometría para crear la geometría analítica.
  
  
• Gödel consiguió gödelizar la sentencia metamatemática autorreferente G, es decir, asignarle una expresión aritmética g. Demostró que el número g corresponde a una expresión aritmética inaccesible aritméticamente, y por lo tanto la sentencia G es indemostrable a través de los axiomas y las reglas de inferencia, es decir, es indecidible.

Una forma sencilla de demostrar el teorema de Gódel es la siguiente [Guzmán, 1995]:

• Todas las proposiciones se pueden ordenar por el número de Gödel: W₁, W₂, ... (proposiciones) y n₁, n₂, ... (números de Godel correspondientes).
  Por ejemplo, la propiedad de que un número sea par podría ser W₅₃ y su número de Gödel g 53.
  
  
• Llamaremos W_p(n) a la proposición “El número n tiene la propiedad W_p”. Según esto, W₅₃(82) es un teorema del sistema y W₅₃(83) no es un teorema del sistema.
  
  
• W_p(n) tiene un número de Gödel g = Φ(p, n), que es función de p y n.
  
  
• Sea T el conjunto de números de Gödel de todas las proposiciones demostrables del sistema. Entonces Φ(p, n)∈T equivale a que W_p(n) es demostrable, y Φ(p, n)∉T equivale a que W_p(n) no es demostrable.
  
  
• Consideremos ahora la proposición Φ(n, n)∉T. Esta proposición afirma que W_n(n) no es demostrable, es decir, que “no es demostrable que n tenga la propiedad W_n”. Esta proposición tendrá su lugar en la sucesión W₁, W₂, ... Supongamos que ocupa el lugar q. W_q(n) indica que el número n tiene la propiedad W_q, es decir, “no es demostrable que n tenga la propiedad W_q”.
  
  
• La proposición clave G del teorema de Gödel es Φ(q, q)∉T, que equivale a “W_q(q) es indemostrable”. Como Φ(p, n) es el número de Gödel de W_p(n), entonces Φ(q, q) es precisamente el número de Gödel de la proposición W_q(q). Entonces G afirma que W_q(q) es indemostrable.
  
  
• ¿Es demostrable Φ(q, q)∉T? Si es demostrable, su número de Gödel es precisamente Φ(q, q), por lo que Φ(q, q)∈T. Contradicción.
  
  
• ¿Es demostrable Φ(q, q)∈T? Si es demostrable, entonces Φ(q, q) es precisamente el número de Gödel de la proposición Φ(q, q)∉T, es decir, Φ(q, q)&Notin;T es demostrable. Contradicción.
  
  
• Por lo tanto, la proposición de Gödel G y su negación no son demostrables. G es una proposición indecidible.

El segundo teorema de incompletud se demuestra de forma análoga al primero, utilizando en este caso la sentencia “No soy consistente”.


La paradójica sentencia G

Desde el punto de vista lógico, la sentencia G es paradójica, es decir, que es a la vez verdadera y falsa, siempre que verdad y demostrabilidad sean conceptos equivalentes. En efecto:

• Supongamos que G es verdadera. Entonces G no es demostrable. Pero como toda sentencia no demostrable es falsa, entonces G es falsa.
  
  G es verdadera → G no es demostrable → G es falsa
  
  
• Supongamos que G es falsa. Entonces esto quiere decir que G es demostrable. Pero como toda sentencia demostrable es verdadera, entonces G es verdadera.
  
  G es falsa → G es demostrable → G es verdadera

Desde el punto de vista conceptual-intuitivo, sabemos (sin acudir a la lógica) que G es verdadera. Y, sin embargo, desde el punto de vista de un SAF es indecidible.

Gödel demostró que la aritmética es esencialmente incompleta, pues aunque se admitiesen nuevos axiomas (como G), podría construirse otra sentencia verdadera y formalmente indecidible. De hecho, hay infinitas sentencias verdaderas que son indecidibles. Al ser la aritmética incompleta, todo SAF basado en ella es también incompleta.

Este teorema no excluye, como ya indicó Gödel en su artículo, la posibilidad de demostrar la consistencia de un SAF (que incluya la aritmética de los números naturales) mediante un sistema de orden superior. Esto precisamente fue lo que realizó Gerhard Gentzen unos años después, en 1936.


Gödel y el platonismo

Gödel reflexionó profundamente sobre las consecuencias filosóficas de sus teoremas de incompletud. Llegó a la conclusión de que sus teoremas demostraban que el platonismo matemático era la postura correcta en la filosofía de las matemáticas.

Esta filosofía platónica de Gódel la dio a conocer en una Conferencia Gibbs impartida el 26 de Diciembre de 1951, en la reunión anual de la AMS (American Mathematical Society). El texto de esta conferencia lo corrigió con la intención de que se publicara, pero no consiguió darle una forma satisfactoria para él. Finalmente fue publicado en 1994, como parte de un volumen titulado “Kurt Gödel: Ensayos Inéditos” [1994].


Otros Temas Indecidibles
El quinto postulado de la geometría de Euclides

Este postulado, que se puede expresar como “Por un punto exterior a una recta pasa una sola recta paralela ella”, es indecidible a partir de los otros cuatro axiomas. Tanto si añadimos el quinto postulado o su negación, obtenemos un sistema consistente. Con su negación obtenemos las geometrías no euclidianas. Si establecemos que no hay rectas paralelas, tenemos la geometría elíptica (cuyo modelo más simple es la geometría esférica). Y si admitimos varias rectas paralelas, tenemos la geometría hiperbólica.


El axioma de elección de la teoría de conjuntos

Este axioma establece que “en toda colección de conjuntos disjuntos, puede construirse otro conjunto formado por un solo elemento de cada uno de los conjuntos de la colección”, axioma evidente para los conjuntos finitos, pero que está pensado para los conjuntos infinitos. En 1940, Gentzen y Gödel demostraron que la teoría axiomática de conjuntos ZF (Zermelo-Fraenkel) es consistente, con o sin el axioma de elección. Por lo tanto, el axioma de elección es indecidible. La axiomática ZF con el axioma de elección se denomina ZFC (la “C” es de “Choice”).


La hipótesis del continuo

El continuo tiene una relación estrecha con el infinito. Por ejemplo, en todo segmento de la recta real hay al menos tantos puntos como el transfinito de Cantor ℵ₁, que es 2^ℵ₀, un cardinal superior a la cardinalidad de los números naturales (ℵ₀). La hipótesis del continuo afirma que la cardinalidad c del continuo es ℵ₁. Pues bien, Gödel demostró en 1940 que la hipótesis del continuo era independiente de los axiomas ZF de la teoría de conjuntos, Por lo tanto, es indecidible.


La equivalencia de expresiones en el cálculo lambda

El cálculo lambda (lambda calculus) es un sistema formal orientado a unificar el mundo de las funciones, en sus aspectos de definición y aplicación. Church [1936] demostró que no existe una función computable que pueda decidir si dos expresiones del cálculo lambda son o no equivalentes. Las equivalencia de las expresiones lambda no es decidible. Históricamente, fue el primer problema de indecidibilidad que pudo ser demostrado.


El problema de la parada de una máquina de Turing

Alan Turing, en su famoso artículo de 1936, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem” (Sobre Números Computables, con una Aplicación al Problema de Decisión), demostró que el problema de la parada (halting problem) de una máquina de Turing es indecidible, en el sentido de que no existe un algoritmo (o una máquina de Turing) general −o un meta-algoritmo− que determine si otro algoritmo (o máquina de Turing) llegará a detenerse, tras un número finito de pasos, con la obtención de un resultado, o continuará indefinidamente. Esto es equivalente a decir que no es posible saber lo que es computable y lo que no.


El problema de la compresión algorítmica

Según Gregory Chaitin, dado un algoritmo que produce una determinada salida o resultado, hay indecidibilidad respecto a la posible existencia de otro algorítmo más comprimido (es decir, de menor longitud) que produzca la misma salida.

En su obra “The Unknowable” (Lo incognoscible), Chaitin [1999] denomina “elegante” al programa más corto que produce una salida determinada. Demuestrço que es imposible demostrar que un programa es elegante. Es el teorema de Chaitin, que se demuestra por reducción al absurdo:

• Supongamos que existe un programa E verificador de programas elegantes, de entrada un programa P y que devuelve V (si el programa es elegante) o F (si no lo es). E(P) = V o F.
  
  
• Construimos un programa B de entrada n y que produce sucesivamente los programas P_k de tamaño mayor que n, y verificándolos con E(P_k) para ver si son elegantes. Cuando encuentra el primer programa elegante, lo ejecuta, produciendo la salida correspondiente. Es decir, B es un programa que produce la salida correspondiente al primer programa elegante de longitud mayor que n.
  
  
• Ejecutamos B con entrada m = longitud(B)+1. Ahora B produce la salida correspondiente al primer programa elegante de longitud mayor que m. Pero este programa, al ser de mayor tamaño que B, no puede ser elegante, puesto que el propio programa B representa a la misma salida con un menor tamaño. Por lo tanto, se llega a una contradicción: no existe tal programa E verificador de programas elegantes.

Otras versiones del teorema de Chaitin son:

1. Es imposible saber si un programa es el más corto posible para realizar una tarea dada.
   
   
2. Es imposible demostrar que una sucesión suficientemente larga es aleatoria. [Una sucesión aleatoria es la que no tiene una representación compacta y es necesario especificarla de forma extensiva, es decir, especificando todos sus elementos].

La tabla siguiente refleja las analogías entre las visiones de Gödel, Church, Turing y Chaitin:

	Elemento	Decidibilidad
Gödel	Sentencia	V o F
Church	Expresiones lambda	Equivalencia
Turing	Programa	Parada
Chaitin	Expresión	Compresión máxima

El problema de decisión (Entscheidungsproblem)

El problema de decisión es el décimo problema planteado por Hilbert, entre los 23 que planteó en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, en Paris. Su enunciado es el siguiente:

Dada una ecuación diofántica (una ecuación algebraica de varias variables, definida sobre el conjunto de los números enteros y cuyas soluciones son también números enteros), idear un proceso de acuerdo con el cual pueda determinarse, en un número finito de operaciones, si la ecuación es resoluble.

Es decir, Hilbert planteaba la posible existencia de un algoritmo con entrada una ecuación diofántica y que devolviera “Sí” si la ecuación tenía solución o “No” si no la tenía. El problema no se resolvió hasta 70 años después, y en sentido negativo: en 1970 Yuri Matiyasévich demostró que tal algoritmo no existe. En 1928, en el Congreso Internacional de Matemáticos, en Bolonia, Hilbert volvía a plantear otro problema de decisión similar. Consistía en tratar de descubrir un método general para determinar si una expresión de la lógica formal booleana es o no universalmente verdadera (una tautología). Este problema se generalizó posteriormente como: ¿Existe un algoritmo general capaz de responder, en un número finito de pasos, sobre si una proposición de la lógica de predicados de primer orden es verdadera o falsa?. Antes de que esta cuestión fuera respondida, no existía en la época en que se planteó una definición formal de algoritmo. Esto lo hicieron:

• Alonzo Church, en 1936, con el concepto de “función efectiva computable” basada en el cálculo lambda. Para Church, una función efectivamente calculable es una función que se puede definir mediante el cálculo lambda.
  
  
• Alan Turing, el mismo año, con el concepto de “máquina de cálculo abstracta”, que hoy conocemos como “máquina de Turing”, una máquina capaz de implementar cualquier algoritmo.

Posteriormente, el propio Turing demostró que ambos modelos de computación eran equivalentes: los conceptos de función lambda-definible y de algoritmo calculable por medio de una máquina de Turing coinciden. La tesis de Church-Turing afirma que lo único que es computable es lo que se realiza mediante funciones lambda o mediante máquinas de Turing. El problema de decisión fue generalizado hasta las propias raíces de la matemática por el propio Hilbert, al plantear también en 1928 en el mismo Congreso Internacional de Matemáticos de Bolonia tres cuestiones clave:

1. ¿Las matemáticas son completas?. Esto es, ¿se puede demostrar toda afirmación matemática?
   
   
2. ¿Las matemáticas son consistentes?. Esto es, ¿es imposible demostrar para toda proposición matemática su verdad y su falsedad?
   
   
3. ¿Las matemáticas son decidibles?. Es decir, ¿existe un algoritmo que permita determinar si una `proposición matemática es cierta o falsa?.

El objetivo de Hilbert era crear un sistema axiomático formal universal, completo y consistente, del que pudieran derivarse todas las verdades matemáticas. Y también que fuera decidible, es decir encontrar un algoritmo que determinara la verdad o falsedad de cualquier proposición en dicho sistema formal.

Con el teorema de Gödel, las dos primeras cuestiones planteadas por Hilbert quedaban contestadas negativamente. Es imposible construir tal sistema universal: todo sistema de primer orden consistente que contenga a la aritmética de los números naturales no es completo porque hay proposiciones indecidibles. Tampoco el sistema puede demostrar su propia consistencia.

La respuesta a la tercera cuestión vino a mediados de los años 1930s, cuando Alonzo Church y Alan Turing publicaron sendos artículos, de forma independiente, que demostraban que existían problemas similares al de Gödel en el área de la computación: el problema de la equivalencia de las expresiones lambda y el problema de la parada, respectivamente. Como los sistemas de Turing y Church son equivalentes, este resultado se conoce con el nombre de “teorema de Church-Turing” (no hay que confundirlo con la tesis de Church-Turing).


MENTAL vs. Teorema de Gödel
Gödel, con su famoso teorema de incompletud, puso en evidencia dos cuestiones:

1. Las limitaciones de los sistemas axiomáticos formales.
2. La existencia de un profundo abismo entre verdad y demostrabilidad, pues hay muchas proposiciones verdaderas que son indemostrables.

Estas conclusiones hicieron tambalear los fundamentos de la matemática, de la misma manera que lo hizo el principio de indeterminación (o incertidumbre) de Heisenberg, unos años antes (en 1927), en física cuántica. La aritmética de los números naturales, la roca en la que se asienta el edificio de la matemática, es incompleto desde el punto de vista axiomático.

El impacto del teorema de Gödel trasciende el mero campo matemático para afectar a otros campos como la informática, la inteligencia artificial, la lingüística, la psicología, la física e incluso la filosofía. Todavía hoy se discute sobre los resultados de Gödel en el sentido de lo que puede significar sobre las limitaciones de la mente humana para conocer o discernir, así como las limitaciones de los lenguajes.

El problema planteado por el teorema de Gödel se clarifica a la luz del principio de causalidad descendente. Realmente, el leitmotiv del teorema de Gödel es la dialéctica entre dos formas de contemplar la realidad: entre lo racional, lo formal y lo superficial, frente a la semántica, lo intuitivo y lo profundo. Hay matemáticos que admiten que no han entendido totalmente el argumento del teorema. Y no se ha entendido porque no se ha considerado esta dialéctica entre estos dos modos de conciencia.

• A nivel matemático:
  
  
  • La verdad no puede hacerse equivalente a la demostrabilidad. La verdad es profunda y la demostración es superficial. Son aspectos distintos y opuestos.
    
    
  • Hay teoremas no demostrables formalmente y que hay que abordarlos necesariamente de modo intuitivo. Es el caso de la sentencia “No soy demostrable”, que sabemos que es verdadera.
    
    
  • Una matemática formal, basada en pura sintaxis, es incompleta. El aspecto superficial no es suficiente. Necesitamos también conceptos, semántica.
    
    
  • La matemática es más grande que la lógica. La matemática no se puede reducir a lógica. El logicismo (Frege, Russell) y el formalismo (Hilbert) son caminos equivocados pues son parciales e incompletos.
  
  
• A nivel lingüístico:
  La sintaxis no es suficiente. La sintaxis no puede suplantar a la semántica. Se necesitan los dos aspectos. Lo interno es la semántica, lo inexpresable. Lo externo, lo expresable, se realiza por la sintaxis.
  
  
• A nivel informático.
  Como los ordenadores son simplemente manipuladores de símbolos, hay enunciados matemáticos que son verdaderos y que no son computables, es decir, están más allá del alcance de los ordenadores.
  
  
• A nivel psicológico.
  Lo racional, sintáctico, formal y superficial, que está asociad al hemisferio izquierdo (HI) del cerebro, es insuficiente. Se necesita también lo intuitivo, la semántica, lo profundo, que está asociado al hemisferio derecho (HD). La conciencia está asociada con la conexión de ambos modos.
  
  Las proposiciones matemáticas inaccesibles las podemos denominar “imaginarias” porque no son aprensibles por la vía de la razón pura (por el modo del HI), pues pertenecen al modo intuitivo, al modo del HD.
  
  
• A nivel de la inteligencia artificial (IA).
  Un ordenador nunca podrá pensar o tener conciencia porque un ordenador solo posee sintaxis y no tiene semántica, no “entiende” lo que hace. Y la conciencia es la conexión entre lo interno y lo externo, lo subjetivo y lo objetivo, entre la sintaxis y la semántica. La IA fuerte (es decir, la posibilidad de que un ordenador piense o tenga conciencia) es imposible: no es posible construir un ordenador que iguale a la mente humana. En cambio, la IA débil (simular la mente humana) sí es posible. Podemos afirmar que la IA más fuerte posible es la asociada a la unión de semántica y sintaxis, el enfoque de MENTAL.
  
  
• A nivel físico.
  Hasta ahora, la física ha considerado solo los fenómenos de tipo superficial. El universo que percibimos es algo externo, pero es la manifestación de algo profundo e inmanifiesto. Los arquetipos primarios conectan lo interno (inmanifiesto) y lo externo (manifiesto). Una “Teoría de Todo” debería basarse en arquetipos primarios.
  
  
• A nivel filosófico.
  El teorema de Gödel provocó una revisión o reevaluación general del racionalismo y de los límites del conocimiento. Según Stephen Hawking, el único límite del conocimiento humano es el expresado por el teorema de Gödel.
  
  En filosofía, “racionalismo” es el nombre de una doctrina que sostiene que la razón es el único instrumento que existe para el conocimiento, la única facultad susceptible de conocer la verdad. Se habla de “racionalismo epistemológico” o “racionalismo gnoseológico”. Se opone al empirismo (que sostiene que la única fuente de conocimiento es la experiencia). Pero hay más tipos de racionalismo:
  
  
  • El “racionalismo metafísico” afirma que la realidad es, en último término, racional, que la realidad está gobernada por principios inteligibles. Una postura defendida, entre otros, por Leibniz.
    
    
  • El “racionalismo psicológico”, que se identifica con el intelectualismo.
    
    
  • El “racionalismo religioso” considera que a todo fenómeno sobrenatural hay que darle una interpretación racional.
  
  Kant puso límites al llamado “racionalismo metafísico”. En su “Crítica a la Razón Pura” sostiene que los juicios matemáticos son sintéticos y no analíticos.
  
  La figura paradigmática del racionalismo es, sin duda, Descartes. Creía que por medio de la razón se podían descubrir las verdades universales, las verdades evidentes por sí mismas, a priori, innatas (no derivadas de la experiencia), con las cuales se podía deducir el resto de los contenidos de la filosofía y de las ciencias.
  
  Pero la filosofía debe enfocarse desde lo más profundo posible, desde las categorías filosóficas, que en MENTAL son equivalentes a los arquetipos primarios.

Los números irracionales y el teorema de Gödel

El teorema de Gödel está asociado con los límites de lo deducible y también, con los límites de lo computable, lo operativo, en definitiva con lo expresable. En este sentido, podemos establecer una analogía con los números reales. Los axiomas en este caso son los dígitos 0 al 9, las reglas de inferencia son las operaciones aritméticas, y los teoremas son los números racionales.

Los números reales se dividen en dos grupos:

1. Los racionales, que son los expresables mediante la aritmética de los números naturales. Pertenecen al mundo consciente, superficial y expresable.
   
   
2. Los irracionales, que no son expresables ni computables mediante la aritmética en un número finito de pasos. Pertenecen al mundo inconsciente, profundo e inexpresable. Los podemos considerar como “números imaginarios”, porque solo podemos imaginarlos.

Sin embargo, algunos irracionales son expresables a nivel descriptivo mediante una expresión finita, aunque representan infinitos pasos computacionales. Entre estos están los números trascendentes como π, e, Φ, √2, etc. Estos números trascendentes actúan como arquetipos matemáticos, como puentes entre el mundo consciente (expresable) y el mundo inconsciente (inexpresable). Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 se puede expresar como √2 = 1 + 1/(1 + √2), que es una expresión recursiva y que da lugar a la fracción continua


Si consideramos como axiomas (operativos) la suma y la división, necesitamos infinitos pasos para calcularlo, luego es inaccesible en un número finito de pasos. Sin embargo, es accesible a nivel descriptivo. En MENTAL, la expresión es:

( r2 =: (1 + 1.÷(1+r2)) )


La sentencia autorreferente G como expresión fractal

El teorema de Incompletud (o de indecidibilidad) Gödel se basa en la utilización de la sentencia autorreferente G “No soy demostrable” (o “Soy indemostrable”) como pieza clave de su demostración. Es una sentencia arquetípica, pues une los opuestos: lo lingüístico y lo metalingüístico o lo matemático y lo metamatemático. Es una sentencia que simboliza la conciencia. El teorema demuestra que no es posible demostrar ni la verdad ni la falsedad de G (es indecidible) mediante los axiomas y las reglas de inferencia de un sistema axiomático formal que incluya los números naturales, como el de Principia Mathematica de Russell y Whithead. Dicho de otra forma, que G no es accesible mediante los axiomas y las reglas de inferencia de dicho sistema axiomático formal.

La esencia del problema es la separación entre lo superficial y lo profundo, entre la forma y el fondo. Pues G es una sentencia profunda, porque es autorreferente (hace referencia a sí misma) y, está evocando a la conciencia a través de la unión de los opuestos.

Pero este problema se resuelve mediante la utilización de los arquetipos de MENTAL. En efecto, la sentencia G es accesible mediante las primitivas semánticas y está describiendo una expresión fractal:

(S =: S/I) representa a la expresión fractal (((S/I)/I)I)...

en donde I es el predicado “Soy indemostrable”.


Conclusiones

• Sistema axiomático semántico.
  El teorema de Gödel deja de tener sentido en MENTAL porque este lenguaje no es un sistema axiomático formal. Es un sistema axiomático semántico basado en conceptos (las primitivas semánticas universales o arquetipos primarios). Aunque también utiliza axiomas formales, son axiomas de segundo orden, que relacionan dichos conceptos primarios. Mediante estos axiomas semánticos es posible fundamentar la matemática.
  
  Las únicas limitaciones que existen son las posibilidades combinatorias de las primitivas semánticas. Estas limitaciones son intrínsecas, son los grados de libertad del lenguaje disponibles a nivel expresivo. No son limitaciones derivadas de nada externo o extrínseco, impuesto mediante un sistema formal.
  
  
• La verdad no es demostrabilidad. La verdad es el significado, la semántica.
  La verdad no se puede hacer equivalente a demostrabilidad. La verdad es un concepto profundo que, en el caso de MENTAL, es el significado, la semántica de toda expresión, que es la expresión de los arquetipos primarios.
  
  La verdad de una expresión lingüística es su semántica, su significado. El concepto de “verdad” no está asociado al mundo físico, dual, manifestado, sino a lo superior, al mundo del significado, al mundo mental.
  
  Por ejemplo, la famosa sentencia propuesta por Russell “El actual rey de Francia es calvo” no es ni verdadera ni falsa. Es una sentencia puramente descriptiva, mental. Es una expresión (según Frege) con sentido, pero sin referencia.
  
  
• Conexión semántica-sintaxis.
  Los sistemas axiomáticos formales “puros” solo pueden expresar lo superficial. Las primitivas semánticas de MENTAL conectan y armonizan razón e intuición, forma y fondo, sintaxis y semántica. Los niveles superficial y profundo están conectados por una entidad intermediaria, que son los arquetipos primarios.
  
  
• El racionalismo no es autosuficiente.
  Necesita apoyarse, fundamentarse, en unas ideas o conceptos iniciales o fundamentales. La mente humana no es “tabla rasa” como defendían los empiristas, sino que posee un conjunto de ideas iniciales, innatas, a priori, de naturaleza simple, a partir de las cuales es posible construir y deducir todo el edificio del conocimiento.
  
  
• Lo superficial es solo una manifestación de lo profundo.
  Lo profundo se manifiesta en lo superficial, en expresiones particulares. Desde lo superficial no se puede acceder a lo profundo.
  
  

  Una ciencia no puede fundamentarse en sí misma. Necesita un fundamento superior o más profundo. La matemática necesita una metamatemática que la fundamente, pero no formalista, sino conceptual-intuitiva. Este es, en esencia, el verdadero significado del teorema de Gödel.

  
  Esto se puede simbolizar por la torre de Babel: la búsqueda de lo superior (lo unificado) a partir de lo inferior (lo diverso). La torre de Babel simboliza no solo la confusión de las lenguas, sino también que desde lo superficial no se puede alcanzar lo sublime.

En definitiva, el teorema de Gödel no es aplicable en MENTAL porque no hay expresiones indecidibles. Solo hay expresiones (operativas y descriptivas) construibles con las primitivas. Se elimina así un escollo conceptual enorme, pues Gödel demostró en definitiva que lo formal por sí solo es insuficiente. Que es necesario también la semántica.

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Adenda
El teorema de Gödel y el principio de indeterminación de Heisenberg

En 1927, Heisenberg descubrió que cuanto más precisa se determine la posición de una partícula cuántica, menos preciso es conocido su momento (o velocidad) en ese instante, y viceversa. Cuatro años después, en 1931, Gödel demostró que un sistema axiomático formal que incluya la aritmética es incompleto. Ambos resultados expresan un tipo de imposibilidad o las limitaciones inherentes sobre lo que nos es posible conocer. Por lo tanto, es natural preguntarse si existe una relación entre ellos. Esta cuestión ha sido abordada repetidamente a lo largo del tiempo. El interés principal reside en la posible incompletud de la física. La cuestión se puede plantear así: ¿la incertidumbre cuántica implica incompletud? Este tema se trata ampliamente en el libro de Douglas Hofstadter “Gödel, Escher, Bach” y se ha discutido en cientos de artículos desde los años 1930s.

Hoy podemos responder a esta cuestión en términos genéricos, es decir que sí tienen conexión: desde lo superficial tenemos limitaciones para acceder a lo profundo. Además, lo profundo es inherentemente difuso, inaccesible e impreciso.

En este tema existe un curioso episodio. John Wheeler, el físico de Princeton, también se preguntó si el principio de incertidumbre podría tener alguna conexión profunda con el teorema de incompletud de Gödel. Wheeler cuenta lo siguiente: “Un día, me encontraba en el Instituto de Estudios Avanzados, y me dirigí al despacho de Gödel, y allí estaba él. Era invierno y Gödel tenía un calentador eléctrico y sus piernas envueltas en una manta. Le dije: ‘Profesor Gödel, ¿qué conexión ve usted entre su teorema de incompletud y el principio de incertidumbre de Heisenberg? Y Gödel se enojó y me echó del despacho”.


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